Родился в 1911 году в селе Тишковка ныне Кировоградской области Украины в семье рабочего. Окончил школу ФЗУ, работал мукомолом в городе Сталинград (ныне - Волгоград). Член ВКП(б)КПСС с 1931 года. В Красной Армии с 1933 года.
В 1941 году окончил ускоренный курс Военной академии имени М.В. Фрунзе. На фронтах Великой Отечественной войны с августа 1941 года.
Сражался с врагом в рядах 120-й стрелковой дивизии, сформированной в июле 1940 года в Орловской области, которая за боевые заслуги 26 сентября 1941 года была преобразована в 6-ю гвардейскую стрелковую дивизию. С 8 апреля 1942 года Б.Д. Лев командовал 4-м гвардейским стрелковым полком этой дивизии.
Командир 4-го гвардейского стрелкового полка (6-я гвардейская стрелковая дивизия, 13-я армия, Центр, фронт) гвардии подполковник Борис Лев организовал:
- 23 сентября 1943 года форсирование реки Днепр в районе села Теремцы Чернобыльского района Киевской области Украины.
- 25 сентября 1943 года форсирование реки Припять у села Осташев Чернобыльского района Киевской области Украины.
Выйдя первым к Днепру с вверенным ему стрелковым полком, Б.Д. Лев с ходу переправил на правый берег реки одну роту и, когда та захватила небольшой плацдарм, командир полка с двумя радистами переправился на него и стал по рации вызывать подразделения полка на себя.
Батальоны форсировали Днепр, идя на зов своего командира. А гвардии подполковник Лев Б.Д. успешно выполнил задачу по захвату и расширению плацдарма и стоял, как в осаждённой крепости, отбивая непрерывные атаки гитлеровцев, нанося противнику значительный урон в живой силе и технике и обеспечивая переправу основных сил 6-й гвардейской стрелковой дивизии.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 октября 1943 года за умелое командование стрелковым полком, образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм подполковнику Льву Борису Давидовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1237).
В последующие годы войны полковник Лев Б.Д. командовал 309-й стрелковой дивизией (6-я армия, 1-й Украинский фронт), отличившейся в ходе Нижнее-Силезской наступательной операции и освобождении польских городов Вроцлав и Легница.
Гвардии генерал-майор Лев Б.Д. до 1970 года продолжал службу в армии. В 1952 году он окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе. Был старшим преподавателем кафедры оперативного искусства этой академии. Жил в Москве.
Скончался 20 ноября 1971 года.
Похоронен в г. Москве на Востряковском кладбище.
Награждён орденом Ленина, 3 орденами Красного Знамени,
Орденами Кутузова 2-й степени, Суворова 3-й степени,
2 орденами Красной Звезды, медалями.
