Родился 4 апреля 1920 года в деревне Дубово Новоржевского района Псковской области в семье крестьяни на. Русский. Окончил 9 классов Новоржевской средней школы.
  После окончания 9 классов средней школы 1 ноября 1940 года Новоржевским РВК Алексея Анисимова призвали в армию. Попал он в город Новороссийск, где был курсантом полковой школы при 422-м гаубичном артиллерийском полку.   В середине его курсантской учёбы началась Великая Отечественная война, но на фронт он в этом году не попал.
  В сентябре 1941 года сержант Анисимов был распределён в 17-й запасной артполк, расквартированный в городе Усть-Лабинск, где стал командиром отделения. А в феврале 1942 года его откомандировали в город Прохладный на курсы младших лейтенантов.  После окончания курсов младший лейтенант Анисимов был направлен на Брянский фронт, где в составе 34-го гвардейского артиллерийского полка 6-й гвардейской стрелковой дивизии был назначен командиром огневого взвода.  Дивизия входила в состав 13-й армии и вела кровопролитные оборонительные бои севернее посёлка Тербуны Липецкой области. Здесь Анисимов принял боевое крещение, хорошо зарекомендовав себя в первых же боях. Его взвод поджёг 4 фашистских танка и совместно с пехотой не пропустил врага к городу Елец.  Уже в июле 1942 года Анисимову было присвоено звание гвардии лейтенанта. На рубеже между городом Ливны и посёлком Тербуны взвод Анисимова стоял в глухой обороне до января 1943 года.  15 января 1943 года началась Воронежско-Касторненская операция. Войска южного фланга Брянского фронта, где находилось подразделение Анисимова, наступали по направлению Ливны - Малоархангельск.   До марта 1943 года взвод гвардии лейтенанта Анисимова прошёл с боями от реки Олым до станции Поныри, где и занял оборону на северном Орловского выступа Курской дуги.  В мае 1943 года 13-я армия вошла в состав Центрального фронта, её войска стали готовиться к вероятному наступлению гитлеровцев на этом направлении.   5 июля 1943 года перешедшие в наступление гитлеровские войска начали Курскую битву. Под прикрытием огня тысяч орудий и миномётов, при поддержке множества самолётов к переднему краю нашей обороны устремились массы фашистских танков и штурмовых орудий. Главный удар ими был совершён в направлении села Ольховатка. Не прорвавшись здесь через вторую полосу обороны, гитлеровское командование 6-7 июля перенесло направление главного удара с Ольховатки на станцию Поныри, где оборонялись подразделения 6-й гвардейской стрелковой дивизии.
  Непосредственно на позиции батареи, в которую входил взвод Анисимова, шло одновременно 70 фашистских танков. Артиллеристы Анисимова встретили врага огнём прямой наводки. 9 раз в течение дня фашисты пытались прорваться вглубь нашей обороны, но вынуждены были откатываться назад.
  На поле боя горело множество вражеских танков, несли потери и советские войска. Гвардии лейтенанту Анисимову пришлось заменить раненого наводчика, и он точно посылал снаряды в цель. Во время боя одно орудие его взвода было разнесено в клочья, но два других продолжали бой. Врагу удалось овладеть станцией, но в тот же день в результате контрудара наших танковых подразделений, гитлеровцы были выбиты из Понырей.
  Многие артиллеристы в этот день, 7 июля, геройски погибли в бою. В 34-м гвардейском артиллерийском полку 2 батареи погибли полностью, но не пропустили врага. От взвода Анисимова в живых осталось кроме него всего 2 бойца, но гвардии лейтенант продолжал вести огонь из единственного уцелевшего орудия.   9 июля фашисты уже наступать не могли и перешли к обороне, ценой огромных потерь вклинившись в нашу оборону всего на 12 километров.   За героизм, проявленный в оборонительных боях на Курской дуге, гвардии лейтенант Анисимов был награждён орденом Красной Звезды.  После оборонительных боёв началось наступление на Левобережную Украину. К началу сентября 1943 года пополненный ново бранцами взвод гвардии лейтенанта Анисимова в составе своего полка вышел к городу Шостка. Артиллеристы участвовали в овладении этим городом и в боях при подходе к реке Десна.   С 12 по 14 сентября взвод помогал огнём стрелковым подразделениям захватить опорные пункты гитлеровцев в сёлах Комаровка и Евлашовка Борзнянского района Черниговской области.   15 сентября 1943 года, перед форсированием Десны, гвардии лейтенанта Анисимова назначили начальником разведки своего артиллерийского дивизиона. В этой должности 21 сентября 1943 года он подошёл к Днепру. В этот же день в районе села Теремцы Чернобыльского района Киевской области началось форсирование Днепра. Дивизион, в котором воевал Анисимов, переправившись через Днепр, участвовал в бою за овладение плацдармом.
  Корректировщики Анисимова при овладении большим селом Гдень обеспечили точный огонь по огневым точкам врага и вынудили его бежать за Припять.   29 сентября 1943 года в составе полка дивизион Анисимова переправился на завоёванный плацдарм за Припятью в районе села Плютовище и содействовал пехоте в удержании плацдарма.   1 октября 1943 года Анисимов вместе со стрелками вошёл в городок Чернобыль. Но в дальнейшем в районе Него разгорелись тяжёлые бои. Враг перебросил сюда 2 пехотные дивизии. До 16 ноября 1943 года на Припятском плацдарме гремели бои, и в них дивизионом Анисимова был нанесён большой ущерб противнику.
  Вклад гвардии лейтенанта Анисимова в бои на Днепре и Припяти как-то не был замечен командованием, и он не был награждён, хотя многие получили ордена, а некоторые и звание Героя Советского Союза.   В декабре 1943 года разгорелись бои за город Коростень. С 19 по 24 декабря в течение 6 дней гитлеровские танковые дивизии предпринимали контрудар по войскам 13-й армии 1-го Украинского фронта.  Наибольший натиск они предприняли в районе посёлка Чоповичи, где оборонялись подразделения 6-й гвардейской стрелковой дивизии. Дивизион Анисимова участвовал в отражении этих контрударов врага.   Корректировщики взводов управления батарей под руководством начальника разведки дивизиона гвардии лейтенанта Анисимова в эти дни выдвигались в расположение стрелковых подразделений, а иногда и впереди них оборудовали свои наблюдательные пункты, и корректировали оттуда огонь батарей. От их целеуказаний враг понёс в этих боях немалые потери.   29 декабря город Коростень был освобождён.
  В январе 1944 года практически без оперативной паузы началась Ровно-Луцкая операция. В ходе неё дивизиону Анисимова пришлось вести бои непосредственно за город Ровно. Анисимов закрепил за стрелковыми ротами своих корректировщиков, и они обеспечивали точный артиллерийский огонь по огневым точкам противника в городских строениях.    2 февраля город Ровно был освобождён. К 7 февраля подразделения 6-й гвардейской стрелковой дивизии вышли в район города Дубно, и здесь завязались тяжёлые бои с Бродской гитлеровской группировкой. 3 моторизованные дивизии из района Бродов предприняли наступление вдоль шоссе Львов – Ровно. Наши артиллеристы и стрелки преградили им путь.   Целый месяц в районе Дубно гремели бои. В них Анисимов сам лично несколько раз корректировал общий огонь всего дивизиона. 10 марта 1944 года в очередном бою он был ранен осколками разорвавшегося снаряда и эвакуирован в госпиталь.   Вернулся гвардии лейтенант Анисимов в свою дивизию в конце мая 1944 года, когда она держала оборону южнее города Луцк.  А 15 июля 1944 года началась Львовско-Сандомирская операция. Батареи артиллерийского дивизиона по целеуказаниям корректировщиков гвардии лейтенанта Анисимова помогали в овладении городами Радехов, Рава-Русская.   23 июля была форсирована река Сан.   31 июля войска 13-й армии вышли на берег реки Висла и сразу же приступили к её форсированию. Вместе с первыми штурмовыми группами ушли и корректировщики Анисимова,(с 28 июля – гвардии старшего лейтенанта).
  Они участвовали в завоевании плацдарма, названного Сандомирским, а орудия артиллерийского дивизиона по их наводкам обрушивали смертоносный огонь на головы фашистов на западном берегу Вислы. Анисимов лично держал связь с корректировщиками и руководил огнём батарей.   2 августа весь дивизион на сколоченных плотах переправился на завоёванный плацдарм и там участвовал в отражении многочисленных вражеских контратак. Весь август и начало сентября 1944 года на Сандомирском плацдарме гремели бои. Гитлеровское командование подтянуло сюда большие силы, и стрелковым подразделениям было бы совсем нелегко, если бы на плацдарм не переправились 1-я, 3-я гвардейские и 4-я танковые армии.
  Дивизион Анисимова отражал контрудары врага северо-западнее города Сандомир. Десятки вражеских танков были уничтожены за месяц оборонительных боёв на плацдарме. За отличие в этих боях гвардии старший лейтенант Анисимов был награждён вторым орденом Красной Звезды.
  Во время боёв на Сандомирском плацдарме 27 сентября 1944 года гвардии старший лейтенант Анисимов был назначен командиром артиллерийской батареи. Батарея оборонялась в районе населённого пункта Лагуев, и комбат сумел обеспечить чёткую её работу. За месяц плацдарм удалось расширить на несколько километров на запад.   2 ноября 1944 года в районе населённого пункта Порембиска гитлеровское командование, пользуясь наступлением темноты, пустило на батарею до 2-х рот пехоты, поддержанной танками. Батарею со всех сторон обтекал противник. Тогда Анисимов «для подсветки целей» приказал зажечь дом, и при свете огня стал расстреливать противника в упор. В результате меткого огня его артиллеристов были уничтожены танк, самоходка, 2 бронетранспортёра и до 2-х взводов пехоты. За отличие в этом бою гвардии старший лейтенант Анисимов был награждён орденом Отечественной войны 2-й степени. 12 января 1945 года началась Висло-Одерская операция. Уже через 3 дня частями 13-й армии был освобождён город Кельце. В тот же день, 15 января 1945 года, на берегу реки Чарна Нида у населённого пункта Моравица батарея гвардии старшего лейтенанта Анисимова отражала контратаки противника и подбила 1 танк и 2 самоходки.   20 января его артиллеристы, двигаясь вместе со стрелковыми подразделениями, форсировали реку Варта и обеспечили огневую поддержку при овладении 23 января городом Ной-Миттервальде.   25 января 1945 года подразделения 6-й гвардейской стрелковой дивизии вышли на берег реки Одер.
  На следующий день, 26 января, Анисимов, двигаясь с передовым батальоном, первым среди артиллеристов форсировал реку в районе городка Кебен, выдвинул свою батарею на открытую огневую позицию и прямой наводкой стал расстреливать вражескую пехоту, обеспечивая плацдарм на западном берегу.   Остальные стрелковые подразделения дивизии беспрепятственно преодолели Одер и приступили к боям за расширение плацдарма.
  27 января батарея Анисимова отразила 3 яростные контратаки противника, подбив 1 бронетранспортёр, уничтожив 2 станковых пулемёта и до взвода вражеской пехоты.   В боях на Одерском плацдарме комбат всё время находился в самых тяжёлых местах боя, находя выход из всех критических ситуаций.   За мужество и героизм, проявленный в ходе Висло-Одерской операции, гвардии старший лейтенант Анисимов был представлен к званию Героя Советского Союза.   В феврале 1945 года бои продолжались в междуречье Одера и Нейсе.
  14 февраля батарея Анисимова участвовала в овладении городом Зорау (Жары), а 20 февраля 1945 года в бою за город Бенау (Любско) комбат был ранен и больше чем на месяц попал в медсанбат.   Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии старшему лейтенанту Анисимову Алексею Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4817).   16 апреля 1945 года форсированием реки Нейсе подразделения 6-й гвардейской стрелковой дивизии вступили в битву за Берлин.   Батарея Героя Советского Союза гвардии старшего лейтенанта Анисимова к 18 апреля вышла к реке Шпрее, вместе со стрелковыми подразделениями форсировала её и устремилась на запад к реке Эльба.   27 апреля у города Виттенберг артиллеристы и стрелки вышли на Эльбу, где произошла торжественная встреча с военнослужащими американского пехотного корпуса. Хотя был уже взят рейхстаг, и в Берлине добивали последние очаги сопротивления фашистов, в Чехословакии оставалась ещё крупная гитлеровская группировка. И войска 13-й армии в составе 1-го Украинского фронта устремились на помощь Праге.   6 мая 1945 года батарея Анисимова вела бой за городок Носсен.   8 мая вошла в чешский город Мост, а 9 мая была в Праге.   Боевой путь артиллерийского офицера Анисимова длиной в 3 долгих года закончился в столице Чехословакии.  После войны продолжал службу в Центральной группе войск (ЦГВ) в Австрии. В мае 1946 года окончил Курсы усовершенствования офицерского состава (КУОС ЦГВ).   В 1946 – 1959 годах служил в 5-й гвардейской механизированной армии Белорусского военного округа на должностях:
 -май 1946–июнь 1953 годов - командир батареи 7-го и 10-го механизированных полков 12-й механизированной дивизии;
 -июнь 1953 – сентябрь 1959 годов – командир батареи и заместитель командира дивизиона 152-миллиметровых гаубиц 296-го артиллерийского полка.
  В 1957 году окончил Центральные артиллерийские КУОС БелВО.
 В ноябре 1959 – августе 1960 годов служил заместителем командира дивизиона 161-й пушечной артиллерийской бригады Северного и Ленинградского военных округов.
  С сентября 1960 года майор А.В.Анисимов –в запасе. Жил и работал в городе Черновцы.
  В сентябре 1960 года А.В.Анисимов вышел в запас, переехал на Украину и поселился с супругой Ядвигой Павловной в городе Черновцы, где до выхода на пенсию работал на одном из предприятий города.   В 1975 году ему было присвоено звание подполковника. Последний год своей службы майор Анисимов провёл в Северном и Ленинградском военных округах.